Чему равна сумма последовательных натуральных чисел

Сумма последовательных натуральных чисел является фундаментальной задачей в математике, имеющей практическое применение в различных областях. Рассмотрим методы вычисления этой суммы для разных случаев.

Сумма первых n натуральных чисел

Для последовательности чисел от 1 до n сумма вычисляется по формуле:

S = n(n + 1)/2

Пример вычисления

Сумма чисел от 1 до 10:

S = 10 × 11 / 2 = 55

Доказательство формулы

Формула может быть доказана несколькими способами:

Метод Гаусса (пример для n=10)

1. Запишем сумму дважды: S = 1 + 2 + ... + 10
2. И обратном порядке: S = 10 + 9 + ... + 1
3. Сложим почленно: 2S = 11 + 11 + ... + 11 (10 раз)
4. Получаем: 2S = 10 × 11 ⇒ S = 55

Сумма последовательных чисел от a до b

Для произвольного диапазона натуральных чисел от a до b (a ≤ b) сумма вычисляется как:

S = (b - a + 1)(a + b)/2

Пример вычисления

Сумма чисел от 5 до 15:

S = (15 - 5 + 1)(5 + 15)/2 = 11 × 20 / 2 = 110

Свойства сумм последовательных чисел

• Сумма n последовательных нечетных чисел равна n²
• Сумма n последовательных четных чисел равна n(n+1)
• Любое натуральное число можно представить как сумму последовательных натуральных чисел

Практическое применение

Историческая справка

Формула суммы натуральных чисел была известна еще в древности. Согласно легенде, юный Карл Фридрих Гаусс открыл этот метод в возрасте 7-8 лет, когда учитель предложил классу сложить все числа от 1 до 100.

Понимание принципов вычисления суммы последовательных чисел является важным элементом математической грамотности и находит применение во многих разделах науки и техники.